矢量计算器

向量计算器可以回答两个向量交互时出现的一些问题：它们指向同一方向的程度（点积）、什么向量垂直于这两个向量（叉积，在三维空间中）、每个向量有多长（大小）、同一方向上长度为 1 的向量是什么样子（单位向量）以及它们分开多少度（它们之间的角度）。该工具在一次运行中计算 2D 向量 (x, y) 或 3D 向量 (x, y, z) 的所有五个，并显示其中每个向量背后的算术，而不仅仅是最终数字。

点积按照手写方式逐项展开：a·b = (2)(-1) + (-1)(4) + (5)(0) = -2 - 4 + 0 = -6，每个乘积和每个带符号的项在总和之前可见。仅针对三个维度定义的叉积是根据经典的 i/j/k 行列式助记符构建的 - 顶部的单位向量、中间行的向量 a 和底部行的向量 b - 扩展为 i(a2b3 - a3b2) - j(a1b3 - a3b1) + k(a1b2 - a2b1) 并替换为您的数字，因此 (1, 0, 0) × (0, 1, 0)明显解析为 (0, 0, 1)，而不是凭空出现。

大小是精确性最重要的地方：(5, 5) 向量的长度为 √50，计算器不会停在小数点 ≈ 7.0711 处，而是将 50 因式分解为 2 × 5²，并在小数点旁边报告精确的简化根式 5√2。重复使用相同的简化部首，将每个单位向量分量表示为小数点之前大小的精确分数，并且两个向量之间的角度根据 θ = arccos((a·b) / (|a||b|)) 计算，并显示替换的数字，以度数和弧度报告。

像这样的向量出现在方向和大小同时存在的任何地方：物理力和速度、3D 图形法线和照明、机器人方向或两点之间的简单 2D 位移。一切都在您的浏览器本地运行 - 无需上传任何内容，无需注册，您可以在桌面或移动设备上检查任意数量的向量对。