Z 分数和置信区间计算器

该计算器涵盖了介绍性统计中的两项相关工作。 Z 分数模式根据由均值 μ 和标准差 σ 描述的正态分布对一个原始值 x 进行标准化：z = (x − μ) / σ。结果告诉您有多少个标准差 x 高于或低于平均值，该工具还报告累积概率 Φ(z) 以及超出它的一尾和二尾尾部区域 - 代入公式中的每个数字，而不仅仅是作为最终答案交给您。

概率来自标准正态累积分布函数的真正封闭形式近似，即误差函数的 Abramowitz & Stegun 7.1.26 有理近似（精确到约 1.5 × 10⁻⁷），而不是舍入查找表。对于 x = 82、μ = 70、σ = 8，z 分数恰好为 1.5，近似值给出 Φ(1.5) ≈ 0.9332（教科书值），单尾概率约为 0.0668，双尾概率约为 0.1336。

置信区间模式回答了一个不同的问题：给定样本均值 x̄、标准差 σ 和样本大小 n，什么范围可能包含真实总体均值？计算器从捆绑的标准正态表中查找您选择的置信水平（80% → 1.282、90% → 1.645、95% → 1.96、98% → 2.326、99% → 2.576）的精确临界值 z*，计算标准误差 SE = σ / √n、误差范围 E = z* × SE 和区间 x̄ ± E.

一个有效的示例：对于样本平均值为 100、标准差为 15、样本量为 36、置信度为 95% 的情况，SE = 15 / √36 = 2.5，误差幅度为 1.96 × 2.5 = 4.9，置信区间为 [95.1, 104.9] — 页面上显示的每个数字，未压缩为单个答案。两种模式完全在客户端运行，因此您输入的值永远不会离开浏览器。