행렬 계산기
2×2와 3×3 행렬의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 전치, 그리고 행렬식과 역행렬을 전체 여인수 전개 과정(소행렬식, 부호 있는 여인수, 수반 행렬)과 함께 정확한 분수로 보여줍니다.
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결과
행렬 계산기는 결과만 보여주는 것이 아니라 실제 산술 과정을 보여줄 때 진정한 가치가 있습니다. 그래서 이 계산기는 그렇게 동작합니다. 2×2 또는 3×3 크기와 연산을 선택하면 모든 중간 숫자가 드러납니다. 덧셈과 뺄셈은 각 cᵢⱼ = aᵢⱼ ± bᵢⱼ 대입을, 곱셈은 모든 출력 셀에 대한 전체 행·열 내적(c11 = a11×b11 + a12×b21 + a13×b31 등)을, 전치는 어떤 성분이 어디로 이동했는지 정확히 보여줍니다. 어떤 계산도 숨은 채로 진행되지 않습니다.
행렬식과 역행렬 계산은 여타 계산기들이 흔히 '블랙박스'처럼 처리하는 부분이지만, 이 도구의 핵심은 바로 그 과정을 투명하게 보여주는 데 있습니다. 3×3 행렬의 행렬식은 교과서 그대로 첫 번째 행을 따라 전개됩니다. 즉, det(A) = a11×M11 − a12×M12 + a13×M13이며, 각각의 2×2 소행렬식 Mᵢⱼ는 ad − bc 형태의 계산 과정을 직접 보여줍니다. 역행렬은 여기서 한 걸음 더 나아가, 9개의 소행렬식을 (+/−/+ 체커보드 패턴, 즉 (−1)^(i+j)에 따라) 부호 있는 여인수로 만들고, 여인수 행렬을 전치하여 수반 행렬을 얻고, 수반 행렬의 각 성분을 행렬식으로 나누어 A⁻¹을 구하는 전 과정을 생략 없이 출력합니다.
이 모든 산술은 정확한 값을 유지합니다. 행렬 성분은 (10의 거듭제곱 분의) 숫자로 해석되며 BigInt 기반 분수 연산(단계마다 유클리드 알고리즘으로 약분)을 통해 처리되므로, 행렬식 6은 그대로 6으로 표시되고, 부동소수점 방식이라면 −0.666667로 반올림되었을 역행렬 성분 역시 정확한 분수 −2/3로 표시됩니다. 행렬식이 0인 경우에는 그 값으로 나누지 않고, 0이 나오게 된 행렬식 계산을 보여주며 해당 행렬이 특이 행렬이라 역행렬이 존재하지 않음을 알려줍니다.
모든 과정은 여러분의 브라우저 안에서 로컬로 실행됩니다. 어떤 정보도 업로드되지 않으며 별도 등록도 필요하지 않아, 데스크톱이나 모바일에서 원하는 만큼 행렬을 계산해 볼 수 있습니다. 선형 대수 과제를 단계별로 검토하거나, 3×3 역행렬 수기 계산을 검증하거나, 반올림된 소수가 아닌 정확한 여인수 행렬을 필요로 하는 크라메르 법칙 스타일의 문제를 풀 때 적합합니다.