Z-점수 및 신뢰 구간 계산기
정규 분포를 기준으로 원 데이터의 z-점수를 계산하거나, 표본 평균에 대한 신뢰 구간을 구합니다. 표준화 공식과 정확한 임계 z-값을 단계별로 대입해 보여줍니다.
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결과
이 계산기는 기초 통계학에서 다루는 두 가지 관련 작업을 수행합니다. Z-점수 모드는 평균 μ와 표준 편차 σ로 기술되는 정규 분포를 기준으로 원 데이터 x 하나를 z = (x − μ) / σ로 표준화합니다. 결과를 통해 x가 평균에서 표준 편차 몇 개만큼 위 또는 아래에 있는지 알 수 있으며, 누적 확률 Φ(z)와 그 너머의 단측 및 양측 꼬리 면적도 함께 제공합니다. 모든 숫자가 공식에 대입되며, 최종 답만 던져주지 않습니다.
확률은 표준 정규 누적 분포 함수의 진짜 닫힌 형태 근사값, 즉 오차 함수에 대한 Abramowitz & Stegun 7.1.26 유리 근사식(정밀도 약 1.5 × 10⁻⁷)을 사용하며, 반올림된 조회 테이블이 아닙니다. x = 82, μ = 70, σ = 8 일 때 z-점수는 정확히 1.5이며, 이 근사식은 Φ(1.5) ≈ 0.9332(교과서 값)으로 계산합니다. 단측 꼬리 확률은 약 0.0668, 양측 확률은 약 0.1336이 됩니다.
신뢰 구간 모드는 다른 질문에 답합니다. 표본 평균 x̄, 표준 편차 σ, 표본 크기 n이 주어졌을 때, 실제 모집단 평균이 들어 있을 법한 범위는 어디일까요? 계산기는 선택한 신뢰 수준에 대한 임계값 z*를 내장된 표준 정규 분포표에서 조회하고(80% → 1.282, 90% → 1.645, 95% → 1.96, 98% → 2.326, 99% → 2.576), 표준 오차 SE = σ / √n, 오차 한계 E = z* × SE, 그리고 구간 x̄ ± E를 계산합니다.
계산 예시: 표본 평균 100, 표준 편차 15, 표본 크기 36, 신뢰 수준 95%인 경우, SE = 15 / √36 = 2.5, 오차 한계는 1.96 × 2.5 = 4.9, 신뢰 구간은 [95.1, 104.9]입니다. 이 모든 숫자가 페이지에 표시되며, 하나의 답으로 축약되지 않습니다. 두 모드 모두 전적으로 클라이언트 측에서 실행되므로 입력한 값은 브라우저 밖으로 나가지 않습니다.