벡터 계산기

벡터 계산기는 두 벡터가 상호작용할 때마다 생기는 몇 가지 질문에 답을 줍니다. 얼마나 같은 방향을 가리키는지(내적), 두 벡터에 모두 수직인 벡터는 무엇인지(3차원에서의 외적), 각 벡터의 길이는 얼마인지(크기), 같은 방향의 길이가 1인 벡터는 어떻게 생겼는지(단위 벡터), 그리고 두 벡터가 몇 도 떨어져 있는지(사이각) 말입니다. 이 도구는 2차원 벡터(x, y)나 3차원 벡터(x, y, z)에 대해 이 다섯 가지를 한 번에 계산하고, 단순히 최종 숫자만 주는 것이 아니라 각 계산의 산술 과정을 전부 보여줍니다.

내적은 손으로 직접 적는 방식 그대로 항별로 전개됩니다. a·b = (2)(-1) + (-1)(4) + (5)(0) = -2 - 4 + 0 = -6처럼, 각 곱셈과 부호가 붙은 항을 합계 전에 모두 확인할 수 있어요. 3차원에서만 정의되는 외적은 고전적인 i/j/k 행렬식 기억법을 사용해 구성됩니다. 단위 벡터를 맨 윗줄에, 벡터 a를 중간 행에, 벡터 b를 아랫줄에 배치한 후, i(a₂b₃ - a₃b₂) - j(a₁b₃ - a₃b₁) + k(a₁b₂ - a₂b₁)로 전개하고 여러분의 숫자를 대입합니다. 덕분에 (1, 0, 0) × (0, 1, 0)이 눈에 보이게 (0, 0, 1)로 풀리는 과정을 알 수 있습니다.

크기는 정확성이 가장 중요한 부분입니다. 벡터 (5, 5)의 크기는 √50이며, 계산기는 그냥 소수점 근삿값 ≈ 7.0711에서 멈추지 않고 50을 2 × 5²로 인수분해하여 정확히 간소화된 근호 5√2를 소수점 값과 함께 표시합니다. 동일한 간소화된 근호를 재사용하여 각 단위 벡터 성분을 크기로 나눈 정확한 분수 형태로 소수점 표기 전에 나타내고, 두 벡터 사이의 각도는 θ = arccos((a·b) / (|a||b|))에 수치를 대입한 식과 함께 계산되어 도와 라디안 단위로 보여줍니다.

이러한 벡터는 방향과 크기가 함께 중요한 물리학의 힘과 속도, 3D 그래픽의 법선 벡터와 조명, 로보틱스 방향 제어, 혹은 평면에서 두 지점 간의 단순한 변위 등 어디에나 쓰입니다. 모든 계산은 브라우저 내에서 로컬로 수행되며, 업로드도, 등록도 필요하지 않아 데스크톱이나 모바일에서 원하는 만큼 벡터 쌍을 확인할 수 있습니다.