Калькулятор Z-показника та довірчого інтервалу

Цей калькулятор охоплює два споріднені завдання вступного курсу статистики. Режим z-показника стандартизує одне сире значення x відносно нормального розподілу, заданого середнім μ і стандартним відхиленням σ: z = (x − μ) / σ. Результат показує, на скільки стандартних відхилень x відхиляється від середнього вгору чи вниз, а інструмент також показує кумулятивну ймовірність Φ(z) і одно- та двобічні хвостові ймовірності за нею — з усіма підставленими числами, а не лише готовою відповіддю.

Ймовірність обчислюється за справжнім замкненим наближенням функції розподілу стандартного нормального закону — раціональним наближенням функції помилок Абрамовіца і Стігана 7.1.26 (точність приблизно 1,5 × 10⁻⁷), а не за округленою таблицею. Для x = 82, μ = 70, σ = 8 z-показник дорівнює точно 1,5, і наближення дає Φ(1,5) ≈ 0,9332 — підручникове значення — з однобічною хвостовою ймовірністю близько 0,0668 і двобічною близько 0,1336.

Режим довірчого інтервалу відповідає на інше питання: маючи вибіркове середнє x̄, стандартне відхилення σ і розмір вибірки n, який діапазон правдоподібно містить справжнє середнє генеральної сукупності? Калькулятор бере точне критичне значення z* для обраного рівня довіри (80% → 1,282, 90% → 1,645, 95% → 1,96, 98% → 2,326, 99% → 2,576) із вбудованої таблиці стандартного нормального розподілу, обчислює стандартну похибку SE = σ / √n, похибку E = z* × SE і інтервал x̄ ± E.

Приклад із числами: для вибіркового середнього 100, стандартного відхилення 15 і розміру вибірки 36 при довірі 95% SE = 15 / √36 = 2,5, похибка становить 1,96 × 2,5 = 4,9, а довірчий інтервал — [95,1; 104,9] — кожне з цих чисел показано на сторінці, а не стиснуто в одну відповідь. Обидва режими працюють повністю на стороні клієнта, тож введені значення ніколи не залишають ваш браузер.