حاسبة الدرجة القياسية وفاصل الثقة

تغطي هذه الحاسبة مهمتين مرتبطتين من الإحصاء التمهيدي. وضع الدرجة القياسية يوحد قيمة أولية واحدة x مقابل توزيع طبيعي معروف بمتوسطه μ وانحرافه المعياري σ: z = (x − μ) / σ. تخبرك النتيجة بعدد الانحرافات المعيارية التي تبعدها x عن المتوسط، كما تقدم الأداة الاحتمال التراكمي Φ(z) ومساحتي الذيل أحادية وثنائية الجانب بعدها — كل رقم يتم تعويضه في المعادلة، لا مجرد تسليمك للإجابة النهائية.

الاحتمال يأتي من تقريب حقيقي مغلق الصيغة لدالة التوزيع التراكمي للتوزيع الطبيعي المعياري، وهو تقريب Abramowitz & Stegun 7.1.26 النسبي لدالة الخطأ (بدقة تقارب 1.5 × 10⁻⁷)، وليس جدولًا مقربًا. بالنسبة لـ x = 82، μ = 70، σ = 8، الدرجة القياسية هي 1.5 بالضبط، ويعطي التقريب Φ(1.5) ≈ 0.9332 — القيمة المرجعية — مع احتمال ذيل أحادي الجانب 0.0668 تقريبًا واحتمال ذيل ثنائي الجانب 0.1336 تقريبًا.

وضع فاصل الثقة يجيب على سؤال مختلف: بوجود متوسط عينة x̄، وانحراف معياري σ وحجم عينة n، ما المدى الذي يُحتمل أن يحتوي على متوسط المجتمع الحقيقي؟ تبحث الحاسبة عن القيمة الحرجة الدقيقة z* لمستوى الثقة الذي تختاره (80% ← 1.282، 90% ← 1.645، 95% ← 1.96، 98% ← 2.326، 99% ← 2.576) من جدول توزيع طبيعي معياري، وتحسب الخطأ المعياري SE = σ / √n، ثم هامش الخطأ E = z* × SE، ثم الفاصل x̄ ± E.

مثال تطبيقي: لمتوسط عينة 100، وانحراف معياري 15، وحجم عينة 36 عند مستوى ثقة 95%، الخطأ المعياري SE = 15 / √36 = 2.5، وهامش الخطأ 1.96 × 2.5 = 4.9، وفاصل الثقة هو [95.1، 104.9] — كل رقم من هذه الأرقام معروض على الصفحة، وليس مضغوطًا في إجابة واحدة. كلا الوضعين يعملان بالكامل على جهاز المستخدم، لذا فالقيم التي تُدخلها لا تغادر متصفحك أبدًا.