発射体運動計算ツール

発射体運動は、空中に打ち出されて重力だけの作用を受けるあらゆる物体に見られる現象です。投げられたボール、蹴り上げられたシュート、発射された砲弾などが当てはまります。問題全体は、角度θ、初速度 v の発射速度を二つの独立した成分に分解した瞬間に単純化されます。飛行中に全く変化しない水平方向の速度 vx = v·cos(θ) と、重力によって徐々に相殺され、さらに逆向きになる垂直方向の速度 vy = v·sin(θ) です。この計算ツールは、まさにその分解を最初に行い、実際に代入した数値を表示します。そのため、vx と vy は隠れた定数ではなく、可視化され検証可能なステップとなります。

vx と vy が求まれば、あとは代入で結果が導かれます。平地の場合、飛行時間は t = 2·vy/g（重力が初速度の垂直成分を打ち消し、再び同じ大きさになるまでの時間）、最高点の高さは h = vy²/(2g)、到達距離は R = vx·t であり、これは教科書でよく見る一つの公式 R = v²·sin(2θ)/g と同じです。発射点が着地点よりも高い場合（崖から投げられたボール、肩の高さより上に放たれた砲丸など）は、平地用の便宜的な時間の公式は使えません。そこで、計算ツールは完全な二次方程式 0 = h0 + vy·t − ½·g·t² を二次方程式の解の公式で解き、正の実数解を採用し、その厳密な飛行時間を到達距離の計算に用います。

軌道そのものは、暗示するのではなく描画します。計算ツールは、実際の計算された飛行時間全体にわたって、位置 x(t) = vx·t と y(t) = h0 + vy·t − ½·g·t² の約80点のサンプリングを行い、それらをスケール調整した SVG のパスとして描画します。グリッド線、数値の軸目盛り、地面の線、そして、弧の最高位置と着地点を示す専用のマーカーを表示します。グラフは上記の導出計算と同じ数値に基づいて生成されるため、速度、角度、発射高さを変更すると、物理法則の予測通りに曲線の形状が変わります。

重力加速度は、すべての計算結果で明示されます。メートル法単位系では 9.8 m/s²、ヤードポンド法では 32.2 ft/s² です。発射体の問題は、どの g の値が使われたかを知らなければ意味がないからです。段階的に代数計算を追う別の題材として、このサイトの二次方程式ソルバーでは、ここで高い位置からの発射に使ったものと同じ二次方程式の解の公式の代入を、任意の ax² + bx + c = 0 に対して適用する様子を確認できます。また、三角形計算ツールは、運動をまったく伴わない三角法の問題を扱います。すべてはお使いのブラウザ上でローカルに実行されます。データはアップロードされず、登録も不要です。発射角度を何度でも試し直すことができます。