Rechner für den schiefen Wurf

Der schiefe Wurf beschreibt, was mit allem geschieht, das in die Luft geschleudert und allein der Schwerkraft überlassen wird: ein geworfener Ball, ein Schuss, eine abgefeuerte Granate. Das gesamte Problem vereinfacht sich in dem Moment, in dem die Abschussgeschwindigkeit v unter dem Winkel θ in zwei unabhängige Komponenten zerlegt wird – eine horizontale Geschwindigkeit vx = v·cos(θ), die während des Fluges konstant bleibt, und eine vertikale Geschwindigkeit vy = v·sin(θ), die von der Schwerkraft stetig abgebaut und dann umgekehrt wird. Dieser Rechner führt genau diese Zerlegung als Erstes durch und zeigt die eingesetzten Zahlen an, sodass vx und vy keine verborgenen Konstanten sind, sondern ein sichtbarer, nachvollziehbarer Schritt.

Aus vx und vy folgt der Rest durch Substitution. Auf ebenem Boden beträgt die Flugzeit t = 2·vy/g (die Zeit, die die Schwerkraft benötigt, um die anfängliche Vertikalgeschwindigkeit abzubauen und wieder aufzubauen), die Scheitelhöhe ist h = vy²/(2g) und die Reichweite R = vx·t, was der bekannten kompakten Formel R = v²·sin(2θ)/g entspricht. Wenn der Abschusspunkt oberhalb des Landepunkts liegt – ein von einer Klippe geworfener Ball, eine Kugel, die oberhalb der Schulter abgestoßen wird – gilt die verkürzte Formel für die Zeit bei ebenem Boden nicht mehr. Stattdessen löst der Rechner die vollständige quadratische Gleichung 0 = h0 + vy·t − ½·g·t² mit der Mitternachtsformel und verwendet die positive Wurzel. Diese exakte Flugzeit wird dann für die Reichweite weiterverwendet.

Die Flugbahn selbst wird gezeichnet, nicht nur angedeutet: Der Rechner tastet etwa achtzig Punkte von x(t) = vx·t und y(t) = h0 + vy·t − ½·g·t² über die tatsächlich berechnete Flugzeit ab und stellt sie als skalierte SVG-Kurve dar, versehen mit Rasterlinien, nummerierten Achsenwerten, der Bodenlinie und eigenen Markierungen für den höchsten Punkt des Bogens und den Landepunkt. Da der Plot auf denselben Zahlen beruht wie die obige Herleitung, verändert sich die Kurve bei Änderungen von Geschwindigkeit, Winkel oder Abschusshöhe genau so, wie die Physik es vorhersagt.

Die Gravitationskonstante wird bei jedem Ergebnis explizit ausgewiesen – 9,8 m/s² im metrischen, 32,2 ft/s² im angloamerikanischen Einheitensystem –, denn ein Wurfproblem ist ohne die Angabe des verwendeten g-Werts bedeutungslos. Wer eine andere Darstellung der algebraischen Herleitung sehen möchte, findet im quadratischen Gleichungslöser dieser Website dieselbe Anwendung der Mitternachtsformel wie hier für erhöhte Abschüsse, angewandt auf beliebige Gleichungen der Form ax² + bx + c = 0, und der Dreiecksrechner behandelt trigonometrische Probleme, die gar nichts mit Bewegung zu tun haben. Alles läuft lokal im Browser: Es werden keine Daten hochgeladen, es ist keine Registrierung nötig, und Sie können beliebig viele Abschusswinkel durchrechnen.