Vektorrechner
Berechnen Sie Skalarprodukt, Kreuzprodukt, Betrag, Einheitsvektor und den Winkel zwischen zwei 2D- oder 3D-Vektoren – mit komponentenweiser Skalarprodukt-Aufschlüsselung, der i/j/k-Determinanten-Eselsbrücke und exakten, vereinfachten Wurzelausdrücken wie 5√2, die bei jedem Schritt angezeigt werden.
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Ergebnis
Ein Vektorrechner beantwortet die wenigen Fragen, die immer dann aufkommen, wenn zwei Vektoren aufeinandertreffen: wie sehr sie in dieselbe Richtung zeigen (das Skalarprodukt), welcher Vektor senkrecht auf beiden steht (das Kreuzprodukt, im Dreidimensionalen), wie lang jeder einzelne ist (der Betrag), wie ein Vektor der Länge 1 in derselben Richtung aussieht (der Einheitsvektor) und wie viele Grad sie voneinander trennen (der Winkel zwischen ihnen). Dieses Tool berechnet alle fünf in einem einzigen Durchlauf, für 2D-Vektoren (x, y) oder 3D-Vektoren (x, y, z), und zeigt zu jedem das Rechenwerk dahinter, nicht nur die reinen Endergebnisse.
Das Skalarprodukt wird komponentenweise genauso aufgeschlüsselt, wie es von Hand geschrieben würde: a·b = (2)(-1) + (-1)(4) + (5)(0) = -2 - 4 + 0 = -6, wobei jedes Produkt und jeder vorzeichenbehaftete Term vor der Summe sichtbar sind. Das Kreuzprodukt, nur für drei Dimensionen definiert, wird über die klassische i/j/k-Determinanten-Eselsbrücke aufgebaut – die Einheitsvektoren oben, Vektor a in der mittleren und Vektor b in der unteren Zeile – und zu i(a2b3 - a3b2) - j(a1b3 - a3b1) + k(a1b2 - a2b1) ausmultipliziert, mit Ihren eingesetzten Zahlen, sodass (1, 0, 0) × (0, 1, 0) sichtbar zu (0, 0, 1) aufgelöst wird, anstatt aus dem Nichts zu erscheinen.
Bei den Beträgen kommt es am meisten auf Exaktheit an: Ein Vektor (5, 5) hat die Länge √50, und anstatt beim Dezimalwert ≈ 7,0711 aufzuhören, zerlegt der Rechner 50 in 2 × 5² und gibt den exakten, vereinfachten Wurzelausdruck 5√2 direkt neben dem Dezimalwert an. Derselbe vereinfachte Wurzelausdruck wird genutzt, um jede Komponente des Einheitsvektors als exakten Bruch über dem Betrag auszudrücken, bevor der Dezimalwert gezeigt wird, und der Winkel zwischen den beiden Vektoren wird aus θ = arccos((a·b) / (|a||b|)) mit sichtbar eingesetzten Zahlen berechnet und sowohl in Grad als auch in Radiant ausgegeben.
Solche Vektoren tauchen überall dort auf, wo Richtung und Betrag gemeinsam eine Rolle spielen: physikalische Kräfte und Geschwindigkeiten, Normalen und Beleuchtung in 3D-Grafiken, Robotik-Ausrichtungen oder eine einfache 2D-Verschiebung zwischen zwei Punkten. Alles läuft lokal in Ihrem Browser – nichts wird hochgeladen, es gibt keine Registrierung, und Sie können auf Desktop oder Mobilgerät so viele Vektorpaare prüfen, wie Sie möchten.