Z-Score- und Konfidenzintervall-Rechner
Berechnen Sie einen Z-Score für einen Wert gegenüber einer Normalverteilung oder ein Konfidenzintervall für einen Stichprobenmittelwert – mit der Standardisierungsformel und dem genauen kritischen Z-Wert, der Schritt für Schritt ersetzt wird.
Ergebnis
Dieser Rechner deckt zwei verwandte Aufgaben aus der Einführungsstatistik ab. Der Z-Score-Modus standardisiert einen Rohwert x anhand einer Normalverteilung, die durch seinen Mittelwert μ und die Standardabweichung σ beschrieben wird: z = (x − μ) / σ. Das Ergebnis sagt Ihnen, wie viele Standardabweichungen x über oder unter dem Mittelwert liegen, und das Tool meldet auch die kumulative Wahrscheinlichkeit Φ(z) und die ein- und zweiseitigen Randflächen darüber hinaus – jede in die Formel eingesetzte Zahl, die Ihnen nicht nur als endgültige Antwort ausgehändigt wird.
Die Wahrscheinlichkeit ergibt sich aus einer echten geschlossenen Approximation der standardmäßigen kumulativen Normalverteilungsfunktion, der rationalen Approximation der Fehlerfunktion nach Abramowitz & Stegun 7.1.26 (genau auf etwa 1,5 × 10⁻⁷), nicht aus einer gerundeten Nachschlagetabelle. Für x = 82, μ = 70, σ = 8 beträgt der Z-Score genau 1,5, und die Näherung ergibt Φ(1,5) ≈ 0,9332 – den Lehrbuchwert – mit einer einseitigen Wahrscheinlichkeit von etwa 0,0668 und einer zweiseitigen Wahrscheinlichkeit von etwa 0,1336.
Der Konfidenzintervallmodus beantwortet eine andere Frage: Welcher Bereich enthält bei einem Stichprobenmittelwert x̄, einer Standardabweichung σ und einer Stichprobengröße n plausibel den wahren Mittelwert der Grundgesamtheit? Der Rechner sucht den genauen kritischen Wert z* für das von Ihnen gewählte Konfidenzniveau (80 % → 1,282, 90 % → 1,645, 95 % → 1,96, 98 % → 2,326, 99 % → 2,576) aus einer gebündelten Standard-Normaltabelle und berechnet den Standardfehler SE = σ / √n, die Fehlerspanne E = z* × SE und das Intervall x̄ ± E.
Ein ausgearbeitetes Beispiel: Für einen Stichprobenmittelwert von 100, eine Standardabweichung von 15 und eine Stichprobengröße von 36 bei 95 % Konfidenz, SE = 15 / √36 = 2,5, beträgt die Fehlerspanne 1,96 × 2,5 = 4,9 und das Konfidenzintervall beträgt [95,1, 104,9] – jede dieser auf der Seite angezeigten Zahlen, nicht in einer einzigen Antwort komprimiert. Beide Modi laufen vollständig clientseitig, sodass die von Ihnen eingegebenen Werte Ihren Browser nie verlassen.
Ihre Dateien und Eingaben verlassen dieses Gerät nie. Die Verarbeitung läuft vollständig offline. 100 % sicher.
Akzeptierte Formate & Regeln
- Z-Score-Modus: z = (x − μ) / σ plus die kumulative Wahrscheinlichkeit Φ(z) und die einseitigen und zweiseitigen Schwanzflächen aus einer Standard-Normal-CDF-Näherung von Abramowitz & Stegun.
- Konfidenzintervallmodus: Fehlerspanne z × (σ / √n) und das Intervall x̄ ± Spanne, vollständig substituiert, für 80/90/95/98/99 % Konfidenz.
- Ein dynamisches Formular, das nur die Eingaben anzeigt, die der ausgewählte Modus benötigt, und lokale Dezimal-Komma-Zahlen wie 3,14 korrekt liest.
Wichtigste Vorteile
Anwendungsfälle
- • Überprüfen Sie, wie ungewöhnlich ein Testergebnis, eine Labormessung oder ein QA-Messwert ist, indem Sie ihn in einen Z-Score anhand eines bekannten Populationsmittelwerts und einer bekannten Standardabweichung standardisieren.
- • Erstellen Sie für einen Bericht ein Konfidenzintervall um den Stichprobenmittelwert einer Umfrage oder eines Experiments und verwenden Sie dabei den genauen gebündelten kritischen Z-Wert anstelle einer gerundeten Faustregel.
- • Lehren oder überprüfen Sie den Standard-Normal-Workflow – die ersetzte z = (x − μ) / σ-Formel und der CI-Rand z × (σ / √n) zeigen jede Zwischenzahl, nicht nur eine endgültige Antwort.
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