z-Score- & Konfidenzintervall-Rechner
Berechnen Sie einen z-Score für einen Wert gegen eine Normalverteilung oder ein Konfidenzintervall für einen Stichprobenmittelwert – mit der Standardisierungsformel und dem exakten kritischen z-Wert, Schritt für Schritt eingesetzt.
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Ergebnis
Dieser Rechner deckt zwei verwandte Aufgaben aus der Einführungsstatistik ab. Der z-Score-Modus standardisiert einen Rohwert x gegen eine Normalverteilung, die durch ihren Mittelwert μ und ihre Standardabweichung σ beschrieben wird: z = (x − μ) / σ. Das Ergebnis gibt an, wie viele Standardabweichungen x über oder unter dem Mittelwert liegt, und das Tool berechnet außerdem die kumulative Wahrscheinlichkeit Φ(z) sowie die ein- und zweiseitigen Randbereiche dahinter – jede Zahl wird in die Formel eingesetzt, nicht nur als Endergebnis präsentiert.
Die Wahrscheinlichkeit basiert auf einer echten Näherung der kumulativen Standardnormalverteilungsfunktion in geschlossener Form, der Abramowitz & Stegun 7.1.26-Rationalapproximation der Fehlerfunktion (genau auf etwa 1,5 × 10⁻⁷), und nicht auf einer gerundeten Nachschlagetabelle. Für x = 82, μ = 70, σ = 8 beträgt der z-Score exakt 1,5, und die Näherung liefert Φ(1,5) ≈ 0,9332 – den Lehrbuchwert – mit einer einseitigen Randwahrscheinlichkeit von etwa 0,0668 und einer zweiseitigen von etwa 0,1336.
Der Konfidenzintervall-Modus beantwortet eine andere Frage: Welcher Bereich enthält bei einem gegebenen Stichprobenmittelwert x̄, einer Standardabweichung σ und einem Stichprobenumfang n plausibel den wahren Mittelwert der Grundgesamtheit? Der Rechner schlägt den exakten kritischen Wert z* für das gewählte Konfidenzniveau (80 % → 1,282, 90 % → 1,645, 95 % → 1,96, 98 % → 2,326, 99 % → 2,576) aus einer mitgelieferten Standardnormalverteilungstabelle nach, berechnet den Standardfehler SE = σ / √n, die Fehlermarge E = z* × SE und das Intervall x̄ ± E.
Ein durchgerechnetes Beispiel: Für einen Stichprobenmittelwert von 100, eine Standardabweichung von 15 und einen Stichprobenumfang von 36 bei 95 % Konfidenz gilt SE = 15 / √36 = 2,5, die Fehlermarge beträgt 1,96 × 2,5 = 4,9 und das Konfidenzintervall ist [95,1; 104,9] – jede dieser Zahlen wird auf der Seite angezeigt und nicht zu einer einzigen Antwort komprimiert. Beide Modi laufen vollständig clientseitig, sodass die von Ihnen eingegebenen Werte Ihren Browser nie verlassen.